Основное свойство откладывания углов определение. Определение. Аксиомы - Геометрия - Большой справочник школьника. Взаимное расположение прямых на плоскости

ТЕМА «Основные свойства отрезка»

В качестве примера применения электронного учебного пособия на уроках геометрии в 7 классе разберем, как вводится понятие «Основные свойства отрезка».

Подобный выбор обусловлен следующими соображениями:

1. Это одно из важнейших понятий как начального, так и систематического курсов геометрии;

2. Отрезок, в отличии, например, от луча или прямой, имеет метрическую характеристику - длину.

Действующей программой по математике даются следующие рекомендации:

1. Изучение материала организуется с опорой на жизненный опыт учащихся, их практические умения;

2. Характерные свойства отрезка подмечаются в ходе решения задач и выполнения построений;

3. Основное внимание уделяется формированию навыков измерения и построения отрезков при помощи линейки.

В результате изучения геометрического материала в соответствии с действующей программой учащиеся должны знать:

1. Что существует единственный отрезок, соединяющий две точки плоскости;

2. Что отрезок ограничен с двух сторон и является частью прямой;

3. Определение равных отрезков;

4. Свойство длины отрезка - длина суммы отрезков равна сумме длин слагаемых отрезков.

Учащиеся должны уметь:

1. Распознавать отрезки, в том числе и включенные в различные геометрические фигуры;

2. Строить отрезки, обозначать и измерять их;

3. Сравнивать отрезки.

В традиционном изложении изучение данного материала проводится в соответствии со следующей схемой:

1. Построение отрезка;

2. Обозначение отрезка;

3. Длина отрезка, единицы длины;

4. Свойства откладывания отрезков;

5. Нахождение длины суммы отрезков.

Упражнения, содержащиеся в различных действующих учебниках и учебных пособиях, можно отнести к следующим типам:

а) построение отрезков;

б) обозначение отрезков;

в) измерение и сравнение отрезков;

г) нахождение длины ломаной или периметра многоугольника;

д) нахождение длины суммы отрезков.

Таким образом, понятие «отрезок» непосредственно связан с его длиной. Рассмотрение понятия «Отрезок» начнем с выделения характерных свойств, не связанных с измерением. Это свойства, позволяющие установить сходство отрезка с другими геометрическими фигурами его отличие от них, то есть включить представление об отрезке в уже имеющуюся систему геометрических представлений учащихся.

Основные свойства отрезка - прямолинейность и ограниченность в двух направлениях - выявляются при его сравнении с прямой или лучом.

Эти свойства позволяют измерить отрезок, то есть сравнить его длину с эталоном длины.

Действительно, длину прямой и луча измерить нельзя в силу их неограниченности. Для кривой линии непосредственное измерение длины затруднительно из-за ее произвольной формы. Однако, даже если известна длина кривой, то это число ничего не говорит о ее форме, так как существует бесконечное множество кривых линий заданной длины. Длина же отрезка однозначно задает его как геометрическую фигуру.

В данной работе предлагается проводить изучение понятия «отрезка» в соответствии со следующей схемой:

1. построение отрезка;

2. обозначение отрезка;

3. основные не метрические свойства отрезка;

4. основное свойство откладывания отрезка;

5. длина отрезка, единицы длины;

6. равные отрезки, сравнение отрезков по длине;

7. нахождение длины суммы отрезков.

На знакомство с темой «Отрезок и его свойства» отводится один час.

УРОК «Основные свойства отрезков».

Цель урока: формирование у учащихся представлений об отрезке как об ограниченной прямолинейной геометрической фигуре и о взаимном расположении точек на плоскости.

I. Подготовка к изучению нового материала.

С отрезком, его построением и измерением учащиеся знакомы из начальной школы. Поэтому в начале урока учащиеся вспоминают различные способы построения отрезка с помощью линейки и его обозначение.

Повторение:

1 способ: С помощью линейки строим прямую линию, на ней отмечаем две точки А и В, которые и определяют отрезок АВ.

Отрезок АВ - часть прямой,

А В ограниченная точками.

Отрезок АВ

2 способ: На плоскости отмечаем две точки А и В. Соединяем их по линейке, не выходящей за точки А и В.

Отрезок АВ состоит из всех точек

прямой, лежащих между точками

А В А и В, и самих точек.

Отрезок АВ

Учащиеся вспоминают все, что они знают об отрезке: 1) отрезок - плоская фигура (лежит на плоскости); 2) это часть прямой; 3) отрезок состоит из бесконечного множества точек; 4) он ограничен с двух сторон; 5) каждая точка отрезка лежит между двумя данными точками, называемыми концами отрезка.

Все это учащиеся вспоминают опираясь на электронное учебное пособие, открыв страницу «отрезок». (рис. 8)

Рисунок 8.

Изложение нового материала. С использованием страницы ЭУП «Планиметрия»: «Основные свойства отрезка»

После того, как учащиеся вспомнили и повторили то, что они знали об отрезке, учитель говорит: что концы отрезка называются граничными точками, а все лежащие между ними, - внутренние точки отрезка.

После этого учитель просит детей обратиться к электронному учебному пособию, где изображен рисунок и дано пояснение, которое приводит учащихся к основным свойствам измерения и откладывания отрезка.

II. Закрепление

Учащимся предлагается выполнить несколько заданий на принадлежность точек отрезкам, отрезков прямым и лучам, а так же их построение, вида:

1. Отметьте в тетради точки К и М. С помощью линейки постройте отрезок КМ. Отметьте на этом отрезке точки Р и Т. Назовите отрезки, на которые эти точки делят отрезок КМ. На какие отрезки делит точка Т отрезок КМ?

2. Какие из точек, указанных на рис. принадлежат отрезку CD, а какие из них не принадлежат?

Вопросы для закрепления:

1. Как обозначаются точки и прямые?

2. Какие точки, отмеченные на рисунке, лежат на прямой а, какие точки на прямой в? В какой точке прямые а и в пересекаются?

3. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков.

4. Сформулируйте основное свойство измерения отрезков.

>>Математика 7 класс. Полные уроки >>Геометрия: Откладывание отрезков и углов. Полные уроки

Откладывание отрезков и углов

На рисунке изображено как с помощью линейки на полупрямой a с начальной точкой A можно отложить отрезок, длиной 3 см.

На этом рисунке изображено, как с помощью транспортира отложить от полупрямой a в верхнюю плоскость угол с градусной мерой в 60°


Сформулируем основные свойства отложения отрезков и углов:

1. на любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины и только один;
2. от любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньше 180°.

Пример решения задачи.

На луче AB отложен отрезок AC, меньший отрезка AB. Какая из трех точек A, B, C лежит между двумя другими?

Решение.
Так как точки B и C лежат на одной полупрямой с начальной точкой A, значит точкой A они не разделяются, то есть точка A не лежит между точками B и C.

Если точка B лежит между точками A и C, то было бы верно равенство: AB+BC=AC. Это невозможно, так как по условию отрезок AC меньше отрезка AB. Следовательно точка C не лежит между точками A и C.

Из трех точек A, B, C только одна лежит между двумя другими. В нашем случае: точка C расположена между точками A и B.

Луч.

Проведем прямую а и отметим на ней точку О (рис. 11).

Эта точка разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О (на рисунке 11 один из лучей выделен жирной линией). Точка О называется началом каждого из лучей. Обычно луч обозначают либо малой латинской буквой (например, луч h на рисунке 12, а), либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых обозначает начало луча, а вторая - какую-нибудь точку на луче (например, луч ОА на рисунке 12,б).

Угол.

Напомним, что угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало - вершиной угла. На рисунке 13 изображен угол с вершиной О и сторонами h и k На сторонах отмечены точки A и В. Этот угол обозначают так: hk, или АОВ, или О.

Угол называется развернутым , если обе его стороны лежат на одной прямой. Можно сказать, что каждая сторона развернутого угла является продолжением другой стороны. На рисунке 14 изображен развернутый угол с вершиной С и сторонами р и q.

Любой угол разделяет плоскость на две части . Если угол неразвернутый, то одна из частей называется внутренней , а другая - внешней областью этого угла (рис. 15, а). На рисунке 15, б изображен неразвернутый угол. Точки А, В, С лежат внутри этого угла (т. е. во внутренней области угла), точки D и Е - на сторонах угла, а точки Р и Q - вне угла (т. е. во внешней области угла). Если угол развернутый, то любую из двух частей, на которые он разделяет плоскость, можно считать внутренней областью угла. Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, также называют углом.

Если луч исходит из вершины неразвернутого угла и проходит внутри угла, то он делит этот угол на два угла. На рисунке (16,а) луч ОС делит угол АОВ на два угла: АОС и СОВ. Если угол АОВ развернутый, то любой луч ОС, не совпадающий с лучами ОА и ОВ, делит этот угол на два угла: АОС и СОВ (рис. 16,б).


Сравнение отрезков и углов.

На рисунке 20, а изображены два отрезка. Чтобы установить, равны они или нет, наложим один отрезок на другой так, чтобы конец одного отрезка совместился с концом другого (рис. 20, б). Если при этом два других конца также совместятся, то отрезки полностью совместятся и, значит, они равны. Если же два других конца не совместятся, то меньшим считается тот отрезок, который составляет часть другого. На рисунке 20, в отрезок АС составляет часть отрезка АВ, поэтому отрезок АС меньше отрезка АВ (пишут так: АС<АВ).

Точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка. На рисунке 21 точка С середина отрезка АВ.

На рисунке 22, а изображенынеразвернутые углы 1 и 2 . Чтобы установить, равны они или нет, наложим один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон (рис. 22,б). Если две другие стороны также совместятся, то углы полностью совместятся и, значит, они равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого. На рисунке (22,б) угол 1 составляет часть угла 2, поэтому 1<2.

Неразвернутый угол составляет часть развернутого (рис. 23), поэтому развернутый угол больше неразвернутого угла. Любые два развернутых угла, очевидно, равны.

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла. На рисунке 24 луч l - биссектриса угла hk.

Вопросы:

1. Сколько градусов развернутый угол?
2. Что такое биссектрис?
3. Для чего служит транспортир?

Список использованных источников:

1. П. И. Алтынов, Геометрия 7-9 классы. Москва. Издательский дом «Дрофа», 2005.
2. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы. Составитель: С.А. Бурмистрова. Москва. «Просвещение», 2009 год.
3. Газета «Математика» № 19, 2000 год.
4. Атанасян, Геометрия 7-9 класс.
5. Павлов А. Н. Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях.
6. Отредактировано и выслано Потунаком С.А.

Над уроком работали:

Потурнак С.А.

На рисунке 18 показано, как с помощью линейки на полупрямой а с начальной точкой А можно отложить отрезок данной длины (3 см).

Посмотрите на рисунок 19. а, продолженная за начальную точку А, разбивает плоскость на две полуплоскости. На рисунке показано, как с помощью транспортира отложить от полупрямой а в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой (60°).

Основными свойствами откладывания отрезков и углов мы будем называть следующие свойства:

VI. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

VII. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°,и только один.

Задача (30). На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АВ. Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ.

Решение (рис. 20). Так как точки В и С лежат на одной полупрямой с начальной точкой А, то они не разделяются точкой А, т. е. точка А не лежит между точками В и С.

Может ли точка В лежать между точками A и С? Если бы она лежала между точками А и С, то было бы АВ + ВС = АС.

Но это невозможно, так как по условию Отрезок АС меньше отрезка АВ. Значит, точка В не лежит между точками А и С.
Из трех точек А, В, С одна лежит между двумя другими. Поэтому точка С лежит между точками А и В.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений