Расчет энергии конденсатора в джоулях. Вывод формулы энергии запасенной в конденсаторе. Как работает ионистор. Ионистор - это суперконденсатор. Формула энергии конденсатора, Wp

В том случае, если обкладки заряженного конденсатора замыкают при помощи проводника, то в проводнике появляется электрический ток, и через некоторое время конденсатор разряжается. При прохождении тока по проводнику выделяется некоторое количество теплоты, следовательно, конденсатор, обладающий зарядом, имеет энергию.

Определим энергию заряженного конденсатора. Будем считать, что конденсатор заряжают и этот процесс происходит очень медленно. Мгновенное значение напряжения между его обкладками обозначим как u. Так как процесс зарядки считаем квазистатическим, между обкладками увеличивается бесконечно медленно. Тогда потенциал каждой обкладки в каждый момент времени можно считать одинаковым в любом месте обкладки. При увеличении заряда обкладки на величину dq, совершается внешняя работа (работа источника) равная :

Используем формулу, которая связывает заряд, емкость и напряжение, получим:

В том случае, если емкость не зависит от напряжения электрического поля, то работа идет на увеличение энергии конденсатора (dW). Проинтегрируем выражение (2), учитывая, что напряжение изменяется от 0 до величины U, имеем:

Применяя формулу:

выражение для энергии поля конденсатора можно преобразовать к виду:

Именно благодаря своей способности запасать энергию, конденсаторы имеют большое значение в радиотехнике и электронике.

Энергия поля плоского конденсатора

Напряжение между обкладками плоского конденсатора может быть найдено как:

где d — расстояние между пластинами конденсатора. Учитывая, что для плоского конденсатора емкость определена выражением:

где - объем конденсатора; E - напряженность электрического поля в конденсаторе. Объемная плотность энергии (w) может быть найдена как:

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Напряжение между обкладками плоского конденсатора равна В, м. Пространство между пластинами конденсатора заполняет стекло. Какова объемная плотность энергии такого конденсатора (w)?
Решение	Величина объемной плотности энергии поля определена как: Энергия (W) поля конденсатора может быть найдена как: При этом электрическая емкость конденсатора равна: Используем выражения (1.2) и (1.3) для преобразования формулы (1.1), учтем, что: получаем: Из справочников найдем, что диэлектрическая проницаемость стекла равна: , проведем вычисления:
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Конденсаторы , , соединены так, как указано на рис. 1. и включены в цепь с напряжением U. Какова энергия первого конденсатора ()?

Рассмотрим конденсатор емкостью С, с разностью потенциалов ф12между пластинами. Зарядфравен Сф13. На одной пластине имеет­ся заряд Q, а на другой - Q. У в е л и ч и м заряд от Q до Q rdQ, пере­неся положительный заряд dQ с отрицательно заряженной пластины на положительную, т. е. произведя работу против разности потенци­алов ф12. Затраченная работа равна dW=(fi2dQ=QdQ;C. Следова­тельно, для того чтобы зарядить незаряженный конденсатор неко­торым конечным зарядом QK, требуется затратить работу

Это и есть энергия, «запасенная» в конденсаторе. Ее можно также выразить уравнением

U = Сф12/2. (21)

Емкость плоского конденсатора с площадью пластин А и зазором s равна C=A!4ns, а электрическое поле E=(p12/s. Следовательно, уравнение (21) эквивалентно также выражению

Это выражение согласуется с общей формулой (2.36) для энергии, запасенной в электрическом поле *).

*) Все вышесказанное относится к «воздушным конденсаторам», выпол­ненным из проводников, между которыми находится воздух. Как вам извест­но из лабораторных работ, большинство конденсаторов, применяемых в элек­трических контурах, заполнено изоляторами или «диэлектриками». Мы будем изучать свойства таких конденсаторов в гл. 9.

Было бы ошибочным создать впечатление, что не существует общих методов решения граничной задачи для уравнения Лапласа. Не имея возможности подробно рассмотреть этот вопрос, мы укажем на три полезные и интересные метода, с которыми вы встретитесь при дальнейшем изучении физики или прикладной математики. Первый метод - это элегантный метод анализа, называемый конформным отображением; он основан на теории функций комплексного пере­менного. К сожалению, его можно применять только к двумерной системе. Существуют системы, в которых ср зависит только от х и у, например, случай, когда все поверхности проводников расположены параллельно оси 2. Тогда уравнение Лапласа принимает вид

с граничными условиями, заданными на некоторых линиях или кри­вых в плоскости ху. В практике встречается много таких систем, или подобных им, поэтому метод, помимо математического интереса, является практически полезным. Например, точное решение для по­тенциала вблизи двух длинных парал­лельных полос легко получить мето­дом конформного отображения. Сило­вые линии и эквипотенциальные поверхности изображены в попереч­ном сечении па рис. 3.16. Рисунок дает нам представление о краевом эффекте поля плоских конденсаторов, длина которых велика по сравнению с расстоянием между пластинами. Поле, изображенное на рис. 3.11, б, было построено на основании такого решения. Вы сможете пользоваться этим методом после того, как более глубоко изучите функции комплек­сного переменного.

Вторым методом является числен­ное определение приближенных реше­ний задачи об электростатическом потенциале при заданных граничных

условиях. Этот очень простой и почти универсальный метод основан на свойстве гармонических функций, с которым вы уже знакомы: значение функции в точке равно ее среднему значению по окрестности этой точки. В этом методе потенциальная функция <р представлена только значениями ряда дискретных точек, включая дискретные точки на границах. Значения функции в точках, не лежащих на границах, подбираются до тех пор, пока каждое из них

Рис. 3.16. Силовые линии и эквипо­тенциальные поверхности для двух бесконечно длинных проводящих полос.

не будет равно среднему из соседних значений. В принципе это мож­но сделать, решая одновременно большое количество уравнений, равное числу внутренних точек. Но приближенное решение можно получить гораздо проще, систематически изменяя каждое значение, чтобы приблизить его к среднему из соседних значений, и повторяя этот процесс до тех пор, пока изменения не станут пренебрежимо малыми. Этот метод носит название метода релаксации. Единствен­ным препятствием к применению этого метода является трудоем­кость процесса вычисления, но теперь это препятствие устранено, так как расчет производится быстродействующими вычислительными машинами, которые идеально подходят для этого метода. Если вам это интересно, обратитесь к задачам 3.29 и 3.30.

Третьим методом приближенного решения краевой задачи яв­ляется вариационный метод. Он основан на принципе, который встречается во многих разделах физики, от ньютоновской динамики до оптики и квантовой механики. В электростатике этот принцип выражается в следующей форме: нам уже известно, что полная энер­гия электростатического поля дается выражением

Если вы решили задачу 2.19, то знаете, что в этом очень простом случае заряд на проводящей поверхности с постоянным потенциалом (состоящей из двух сфер, связанных проводом) распределен таким образом, чтобы энергия, запасенная во всем поле,была минималь­ной. Это общее правило. В любой системе проводников, при раз­личных фиксированных значениях потенциалов, заряд распреде­ляется по каждому проводнику таким образом, чтобы значение энер­гии, запасенной в поле, стало минимальным. Это становится почти очевидным, если указать, что любое уменьшение полной энергии по­ля связано с совершением работы перераспределения заряда *). Плоская поверхность воды в сосуде имеет то же объяснение.

Рассмотрим теперь потенциальную функцию q>(x, у, г) в некото­рой области, заключающей в себе несколько граничных поверхно­стей с заданными потенциалами. Точное значение функции ф(х, у,г), т. е. решение уравнения У2ф = 0, удовлетворяющее заданным потен­циалам на границах, отличается от всех других функций, удовлетво­ряющих граничным условиям, но не удовлетворяющих уравнению Лапласа, например от 1|з(лг, у, z), так как запасенная энергия для ф меньше, чем для г|э. Выразим энергию через ф, как в уравнении (2.38):

*) Рассуждая таким образом, мы считаем, что течение заряда сопровождается некоторым рассеянием энергии. Это так обычно и бывает. В противном случае система, не находящаяся вначале в состоянии равновесия, не могла бы придти в это состояние, избавившись от лишней энергии. Как вы думаете, что произошло бы в этом случае?

Теперь мы можем поставить граничную задачу по-новому, не упоминая о лапласиане. Потенциальная функция - это та функция, которая минимизирует интеграл уравнения (25) по сравнению со всеми другими функциями, удовлетворяющими тем же граничным условиям. Следовательно, возможным методом получения прибли­женного решения данной краевой задачи является испытание боль­шого количества функций, имеющих заданные граничные значения, и последующий выбор той функции, которая обеспечивает минималь­ное значение U. Можно также взять функцию с одним или двумя переменными параметрами и использовать эти математические «кнопки» для минимизации U. Этот метод особенно удобен для опре­деления самой энергии, часто наиболее важной неизвестной величи­ны. Поскольку энергия U минимальна для точного значения ф, то она мало чувствительна к отклонениям от этого значения. Задача 3.32 иллюстрирует простоту и точность вариационного метода.

Вариационный принцип представляет собой альтернатив­ную формулировку основного закона электростатического поля, и это для нас более существенно, чем польза, которую он при­носит при вычислениях. Известно, что формулировка физических законов в виде вариационных принципов часто весьма плодотворна. Профессор Р. П. Фейнман, известный своими блестящими работами в этой области, дал живое и элементарное изложение вариационных идей в книге «Фейнмановские лекции по физике» (см. т. 6, гл. 19).

В предыдущей заметке были кратко перечислены различные способы аккумулирования, то есть накопления и сохранения энергии. В силу ограниченности объема отдельной статьи обзор получился довольно поверхностным. И, пожалуй, основной вопрос, который остался за рамками той статьи, можно сформулировать так: «Какой способ хранения энергии предпочтителен в той или иной ситуации?». К примеру, какой способ аккумулирования энергии выбрать для частного дома или дачи, оборудованных солнечной или ветровой установкой? Очевидно, что крупную гидроаккумулирующую станцию в этом случае строить никто не будет, однако установить большую емкость, подняв ее на высоту 10 метров, возможно. Но будет ли такая установка достаточна для поддержания постоянного электроснабжения при отсутствии солнца?

Чтобы ответить на возникающие вопросы, необходимо выработать какие-то критерии оценки аккумуляторов, позволяющие получить объективные оценки. А для этого нужно рассмотреть различные параметры накопителей, позволяющие получить числовые оценки.

Емкость или накопленный заряд?

Когда говорят или пишут об автомобильных аккумуляторах, часто упоминают величину, которую называют емкостью аккумулятора и выражают в ампер-часах (для небольших аккумуляторов — в миллиампер-часах). Но, строго говоря, ампер-час не является единицей емкости. Емкость в теории электричества измеряют в фарадах. А ампер-час - это единица измерения заряда ! То есть характеристикой аккумулятора нужно считать (и так это и называть) накопленный заряд .

В физике заряд измеряют в кулонах. Кулон - это величина заряда, прошедшего через проводник при силе тока 1 ампер за одну секунду. Поскольку 1 Кл/c равен 1 А, то, переведя часы в секунды, получаем, что один ампер-час будет равен 3600 Кл.

Следует обратить внимание, что даже из определения кулона видно, что заряд характеризует некий процесс, а именно процесс прохождения тока по проводнику. То же самое следует даже из названия другой величины: один ампер-час — это когда ток силой в один ампер протекает по проводнику в течение часа.

На первый взгляд может показаться, что тут какая-то нестыковка. Ведь если мы говорим о сохранении энергии, то накопленная в любом аккумуляторе энергия должна измеряться в джоулях, поскольку именно джоуль в физике служит единицей измерения энергии. Но давайте вспомним, что ток в проводнике возникает только тогда, когда имеется разность потенциалов на концах проводника, то есть к проводнику приложено напряжение. Если напряжение на клеммах аккумулятора равно 1 вольту и по проводнику протекает заряд в один ампер-час, мы и получаем, что аккумулятор отдал 1 В · 1 А·ч = 1 Вт·ч энергии.

Таким образом, применительно к аккумуляторам правильнее говорить о накопленной энергии (запасенной энергии) или о накопленном (запасенном) заряде . Тем не менее, поскольку термин «емкость аккумулятора» широко распространен и как-то более привычен, будем использовать и его, но с некоторым уточнением, а именно, будем говорить про энергетическую емкость .

Ёмкость энергетическая - энергия, отдаваемая полностью заряженным аккумулятором при разряде до наименьшего допустимого значения.

Используя это понятие, попытаемся приблизительно посчитать и сравнить энергетическую емкость различных типов накопителей энергии.

Энергетическая емкость химических аккумуляторов

Полностью заряженный электрический аккумулятор с заявленной ёмкостью (зарядом) в 1 А·ч теоретически способен обеспечить силу тока 1 ампер в течение одного часа (или, например, 10 А в течение 0,1 часа, или 0,1 А в течение 10 часов). Но слишком большой ток разряда аккумулятора приводит к менее эффективной отдаче электроэнергии, что нелинейно уменьшает время его работы с таким током и может приводить к перегреву. На практике ёмкость аккумуляторов приводят, исходя из 20-часового цикла разряда до конечного напряжения. Для автомобильных аккумуляторов оно составляет 10,8 В. Например, надпись на маркировке аккумулятора «55 А·ч» означает, что он способен выдавать ток 2,75 ампер на протяжении 20 часов, и при этом напряжение на клеммах не опустится ниже 10,8 В.

Производители аккумуляторов часто указывают в технических характеристиках своих изделий запасаемую энергию в Вт·ч (Wh), а не запасаемый заряд в мА·ч (mAh), что, вообще говоря, не правильно. Вычислить запасаемую энергию по запасаемому заряду в общем случае непросто: требуется интегрирование мгновенной мощности, выдаваемой аккумулятором за всё время его разряда. Если большая точность не нужна, можно вместо интегрирования воспользоваться средними значениями напряжения и потребляемого тока и воспользоваться формулой:

1 Вт·ч = 1 В · 1 А·ч. То есть запасаемая энергия (в Вт·ч ) приблизительно равна произведению запасаемого заряда (в А·ч ) на среднее напряжение (в Вольтах ): E = q · U . Например, если указано, что емкость (в обычном смысле) 12-вольтового аккумулятора равна 60 А·ч, то запасаемая энергия, то есть его энергетическая ёмкость, составит 720 Вт · часов.

Энергетическая емкость накопителей гравитационной энергии

В любом учебнике физики вы можете прочитать, что работа A, совершаемая некоторой силой F при подъеме тела массы m на высоту h вычисляется по формуле A = m · g · h, где g — ускорение свободного падения. Эта формула имеет место в том случае, когда движение тела происходит медленно и силами трения можно пренебречь. Работа против силы тяжести не зависит от того, как мы поднимаем тело: по вертикали (как гирю в часах), по наклонной плоскости (как при втаскивании санок в гору) или еще каким-либо способом. Во всех случаях работа A = m · g · h. При опускании тела на первоначальный уровень сила тяжести произведет такую же работу, какая была затрачена силой F на подъем тела. Значит, поднимая тело, мы запасли работу, равную m · g · h, т. е. поднятое тело обладает энергией, равной произведению силы тяжести, действующей на это тело, и высоты, на которую оно поднято. Эта энергия не зависит от того, по какому пути происходил подъем, а определяется лишь положением тела (высотой на которую оно поднято или разностью высот между первоначальным и окончательным положением тела) и называется потенциальной энергией.

Оценим по этой формуле энергетическую емкость массы воды, закачанной в цистерну емкостью 1000 литров, поднятую на 10 метров над уровнем земли (или уровнем турбины гидрогенератора). Будем считать, что цистерна имеет форму куба с длиной ребра 1 м. Тогда, согласно формуле в учебнике Ландсберга , A = 1000 кг · (9,8 м/с 2) · 10,5 м = 102900 кг · м 2 /с 2 . Но 1 кг · м 2 /с 2 равен 1 джоулю, а переводя в ватт-часы, получим всего 28,583 ватт-часов. То есть, чтобы получить энергетическую емкость, равную емкости обычного электроаккумулятора 720 ватт-часов, нужно увеличить объем воды в цистерне в 25,2 раза. Цистерна должна будет иметь длину ребра примерно 3 метра. При этом ее энергетическая емкость будет равна 845 ватт-часам. Это больше емкости одного аккумулятора, но зато и объем установки существенно больше, чем размер обычного свинцово-цинкового автомобильного аккумулятора. Это сравнение подсказывает, что имеет смысл рассматривать не запасенную энергию в некоторой системе энергию саму по себе, а по отношению к массе или объему рассматриваемой системы.

Удельная энергетическая емкость

Итак мы пришли к заключению, что энергетическую емкость целесообразно соотносить с массой или объемом накопителя, или собственно носителя, например, воды, залитой в цистерну. Можно рассмотреть два показателя этого рода.

Массовой удельной энергоемкостью будем называть энергетическую емкость накопителя, отнесенную к массе этого накопителя.

Объемной удельной энергоемкостью будем называть энергетическую емкость накопителя, отнесенную к объему этого накопителя.

Пример. Свинцово-кислотный аккумулятор Panasonic LC-X1265P, рассчитанный на напряжение 12 вольт, имеет заряд 65 ампер-часов, вес — 20 кг. и размеры (ДхШхВ) 350 · 166 · 175 мм. Срок его службы при t = 20 C — 10 лет. Таким образом его массовая удельная энергоёмкость составит 65 · 12 / 20 = 39 ватт-часов на килограмм, а объёмная удельная энергоёмкость — 65 · 12 / (3,5 · 1,66 · 1,75) = 76,7 ватт-часов на кубический дециметр или 0,0767 кВт-часа на кубический метр.

Для рассмотренного в предыдущем разделе накопителя гравитационной энергии на основе цистерны с водой объемом 1000 литров удельная массовая энергоёмкость составит всего 28,583 ватт-часов/1000 кг = 0, 0286 Вт-ч/кг., что в 1363 раза меньше, чем массовая энергоемкость свинцово-цинкового аккумулятора. И хотя срок службы гравитационного накопителя может оказаться существенно больше, все же с практической точки зрения цистерна кажется менее привлекательной, чем аккумуляторная батарея.

Рассмотрим еще несколько примеров накопителей энергии и оценим их удельные энергоемкости.

Энергоёмкость теплоаккумулятора

Теплоёмкость — количество теплоты, поглощаемой телом при нагревании его на 1 °С. В зависимости от того, к какой количественной единице относится теплоёмкость, различают массовую, объёмную и молярную теплоёмкость.

Массовая удельная теплоёмкость, также называемая просто удельной теплоёмкостью - это количество теплоты, которое необходимо подвести к единице массы вещества, чтобы нагреть его на единицу температуры. В СИ измеряется в джоулях, деленных на килограмм на кельвин (Дж·кг −1 ·К −1).

Объёмная теплоёмкость - это количество теплоты, которое необходимо подвести к единице объёма вещества, чтобы нагреть его на единицу температуры. В СИ измеряется в джоулях на кубический метр на кельвин (Дж·м −3 ·К −1).

Молярная теплоёмкость - это количество теплоты, которое необходимо подвести к 1 молю вещества, чтобы нагреть его на единицу температуры. В СИ измеряется в джоулях на моль на кельвин (Дж/(моль·К)).

Моль - единица измерения количества вещества в Международной системе единиц. Моль есть количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг.

На значение удельной теплоёмкости влияет температура вещества и другие термодинамические параметры. К примеру, измерение удельной теплоёмкости воды даст разные результаты при 20 °C и 60 °C. Кроме того, удельная теплоёмкость зависит от того, каким образом позволено изменяться термодинамическим параметрам вещества (давлению, объёму и т. д.); например, удельная теплоёмкость при постоянном давлении (CP) и при постоянном объёме (CV), вообще говоря, различны.

Переход вещества из одного агрегатного состояния в другое сопровождается скачкообразным изменением теплоёмкости в конкретной для каждого вещества температурной точке превращения - температура плавления (переход твёрдого тела в жидкость), температура кипения (переход жидкости в газ) и, соответственно, температуры обратных превращений: замерзания и конденсации.

Удельные теплоёмкости многих веществ приведены в справочниках обычно для процесса при постоянном давлении. К примеру, удельная теплоёмкость жидкой воды при нормальных условиях - 4200 Дж/(кг·К); льда - 2100 Дж/(кг·К).

Исходя из приведенных данных можно попытаться оценить теплоемкость водяного теплоаккумулятора (абстрактного). Предположим, что масса воды в нем равна 1000 кг (литров). Нагреваем ее до 80 °C и пусть она отдает тепло, пока не остынет до 30 °C. Если не заморачиваться тем, что теплоемкость различна при разной температуре, можно считать, что теплоаккумулятор отдаст 4200 * 1000 * 50 Дж тепла. То есть энергетическая емкость такого теплоаккумулятора составляет 210 мегаджоулей или 58,333 киловатт-часов энергии.

Если сравнить эту величину с энергетическим зарядом обычного автомобильного аккумулятора (720 ватт-часов), то видим, что для энергетическая емкость рассматриваемого теплоаккумулятора равна энергетической емкости примерно 810 электрических аккумуляторов.

Удельная массовая энергоемкость такого теплоаккумулятора (даже без учета массы сосуда, в котором собственно будет храниться нагретая вода, и массы теплоизоляции) составит 58,3 кВт-ч/1000 кг = 58,3 Вт-ч/кг. Это уже получается поболее, чем массовая энергоемкость свинцово-цинкового аккумулятора, равная, как было подсчитано выше, 39 Вт-ч/кг.

По приблизительным подсчетам теплоаккумулятор сравним с обычным автомобильным аккумулятором и по объёмной удельной энергоёмкости, поскольку килограмм воды — это дециметр объема, следовательно его объемная удельная энергоемкость тоже равна 76,7 Вт-ч/кг., что в точности совпадает с объемной удельной теплоемкостью свинцово-кислотного аккумулятора. Правда, в расчете для теплоаккумулятора мы учитывали только объем воды, хотя нужно было бы учесть еще объем бака и теплоизоляции. Но в любом случае проигрыш будет уже не так велик, как для граыитационного накопителя.

Другие виды накопителей энергии

В статье «Обзор накопителей (аккумуляторов) энергии » приведены расчеты удельных энергоемкостей еще некоторых накопителей энергии. Позаимствуем оттуда некоторые примеры

Конденсаторный накопитель

При емкости конденсатора 1 Ф и напряжении 250 В запасенная энергия составит: E = CU 2 /2 = 1 ∙ 250 2 /2 = 31.25 кДж ~ 8.69 Вт · час. Если использовать электролитические конденсаторы, то их масса может составить 120 кг. Удельная энергия накопителя при этом 0.26 кДж/кг или 0,072 Вт/кг. При работе накопитель может в течение часа обеспечивать нагрузку не более 9 Вт. Срок службы электролитических конденсаторов может достигать 20 лет. Ионисторы по плотности запасаемой энергии приближаются к химическим аккумуляторным батареям. Достоинства: накопленная энергия может быть использована в течение короткого промежутка времени.

Гравитационные накопители копрового типа

Вначале поднимаем тело массой 2000 кг на высоту 5 м. Затем тело опускается под действием силы тяжести, вращая электрогенератор. E = mgh ~ 2000 ∙ 10 ∙ 5 = 100 кДж ~ 27.8 Вт · час. Удельная энергетическая ёмкость 0.0138 Вт · час/кг. При работе накопитель может в течение часа обеспечивать нагрузку не более 28 Вт. Срок службы накопителя может составлять 20 и более лет.

Достоинства: накопленная энергия может быть использована в течение короткого промежутка времени.

Маховик

Энергия, запасаемая в маховике, может быть найдена по формуле E = 0.5 J w 2 , где J — момент инерции вращающегося тела. Для цилиндра радиуса R и высотой H:

J = 0.5 p r R 4 H

где r — плотность материала, из которого изготовлен цилиндр.

Предельная линейная скорость на периферии маховика V max (составляет примерно 200 м/с для стали).

V max = w max R или w max = V max /R

Тогда E max = 0.5 J w 2 max = 0.25 p r R 2 H V 2 max = 0.25 M V 2 max

Удельная энергия составит: E max /M = 0.25 V 2 max

Для стального цилиндрического маховика максимальная удельная энергоемкость составляет приблизительно 10 кДж/кг. Для маховика массой 100 кг (R = 0.2 м, H = 0.1 м) максимальная накопленная энергия может составлять 0.25 ∙ 3.14 ∙ 8000 ∙ 0.2 2 ∙ 0.1 ∙ 200 2 ~ 1 МДж ~ 0.278 кВт · час. При работе накопитель может в течение часа обеспечивать нагрузку не более 280 Вт. Срок службы маховика может составлять 20 и более лет. Достоинства: накопленная энергия может быть использована в течение короткого промежутка времени, характеристики могут быть существенно улучшены.

Супермаховик

Супермахови́к в отличие от обычных маховиков способен за счёт конструктивных особенностей теоретически хранить до 500 Вт·ч на килограмм веса. Однако разработки супермаховиков почему-то остановились.

Пневматический накопитель

В стальной резервуар емкостью 1 м 3 закачивается воздух под давлением 50 атмосфер. Чтобы выдержать такое давление, стенки резервуара должны иметь толщину примерно 5 мм. Сжатый воздух используется для выполнения работы. При изотермическом процессе работа A, совершаемая идеальным газом при расширении в атмосферу, определяется формулой:

A = (M / m) ∙ R ∙ T ∙ ln (V 2 / V 1)

где M — масса газа, m — молярная масса газа, R — универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура, V 1 — начальный объем газа, V 2 — конечный объем газа. С учетом уравнения состояния для идеального газа (P 1 ∙ V 1 = P 2 ∙ V 2) для данной реализации накопителя V 2 / V 1 = 50, R = 8.31 Дж/(моль · град), T = 293 0 K, M / m ~ 50: 0.0224 ~ 2232, работа газа при расширении 2232 ∙ 8.31 ∙ 293 ∙ ln 50 ~ 20 МДж ~ 5.56 кВт · час за цикл. Масса накопителя примерно равна 250 кг. Удельная энергия составит 80 кДж/кг. При работе пневматический накопитель может в течение часа обеспечивать нагрузку не более 5.5 кВт. Срок службы пневматического накопителя может составлять 20 и более лет.

Достоинства: накопительный резервуар может быть расположен под землей, в качестве резервуара могут использоваться стандартные газовые баллоны в требуемом количестве с соответствующим оборудованием, при использовании ветродвигателя последний может непосредственно приводить в действие насос компрессора, имеется достаточно большое количество устройств, напрямую использующих энергию сжатого воздуха.

Сравнительная таблица некоторых накопителей энергии

Все полученные выше значения параметров накопителей энергии сведем в обобщающую таблицу. Но вначале заметим, что удельные энергоемкости позволяют сравнивать накопители с обычным топливом.

Основной характеристикой топлива является его теплота сгорания, т.е. количество теплоты, выделяющееся при полном его сгорании. Различают теплоту сгорания удельную (МДж/кг) и объемную (МДж/м3). Переводя МДж в кBт-часы получаем.

Details 01 February 2017

Господа, всем приветище! Сегодня речь пойдет про энергию конденсаторов . Внимание, сейчас будет спойлер: конденсатор может накапливать в себе энергию. Причем иногда очень большую. Что? Это не спойлер, это и так было всем очевидно? Здорово если так! Тогда поехали в этом более подробно разбираться!

В прошлой статье мы пришли к выводу, что заряженный конденсатор, отсоединенный от источника напряжения, может сам в течении некоторого времени (пока не разрядится) давать некоторый ток. Например, через какой-то резистор. По закону Джоуля-Ленца если через резистор течет ток, то на нем выделяется тепло. Тепло - значит, энергия. И берется эта самая энергия из конденсатора - больше, собственно, неоткуда. Значит, в конденсаторе может хранится некоторая энергия. Итак, физика процессов более-менее понятна, поэтому теперь давайте поговорим, как это все описать математически. Потому что одно дело все описать на словах - это круто, замечательно, это должно быть, но в жизни часто надо что-то рассчитать и тут уже обычных слов не достаточно.

Для начала давайте вспомним определение работы из механики. Работа A силы F это произведение этой самой силы F на вектор перемещения s.

Полагаю, что механику вы изучали когда-то и это знаете . Страшные значки векторов нужны только в случае, если направление силы не совпадает с перемещением: вроде случая, когда сила тянет строго прямо, а перемещение идет под каким-то углом к силе. Такое бывает, например, когда груз перемещается по наклонной плоскости. Если же направление силы и перемещения совпадают, то можно смело отбросить вектора и просто перемножать силу на длину пути, получая таким образом работу:

Вспомним теперь статью про закон Кулона . Мы там получили замечательную формулу, которую сейчас самое время вспомнить:

То есть, если у нас есть электрическое поле с напряженностью Е и мы в него помещаем некоторый заряд q, то на этот заряд будет действовать сила F, которую можно рассчитать по этой формуле.

Нам никто не мешает подставить эту формулу в чуть выше написанную формулу для работы. И таким образом найти работу, которую совершает поле при перемещении в нем заряда q на расстояние s. Будем полагать, что мы перемещаем наш заряд q точно по направлению силовых линий поля. Это позволяет использовать формулу работы без векторов:

Теперь, господа, внимание. Напоминаю одну важную штуку из той же механики. Есть такой особый класс сил, которые называются потенциальные. Если говорить упрощенным языком, то для них верно утверждение, что если эта сила на каком-то отрезке пути совершила работу А , то это значит, что в начале этого пути у тела, над которым совершалась работа, энергия была на это самое А больше, чем в конце. То есть на сколько поработали, на столько и изменилась потенциальная энергия. Работа потенциальных сил не зависит от траектрии и определяется только начальной и конечной точкой. А на замнкнутом пути она вообще равна нулю. Как раз-таки сила электрического поля относится к этому классу сил.

Вот мы помещаем наш зарядик q в поле. Он под действием этого поля перемещается на некоторое расстояние от точки С до точки D. Пусть для определенности в точке D энергия заряда будет равна 0. При этом перемещении поле совершает работу А . Из этого следует, что в начале пути (в точке C) наш зарядик обладал некоторой энергией W=A. То есть, мы можем записать

Теперь самое время рисовать картинки. Взглянем на рисунок 1. Это немного упрощенная иллюстрация физики процессов плоского конденсатора. Более полное мы рассматривали это в прошлый раз .

Рисунок 1 - Плоский конденсатор

Давайте теперь чуть-чуть искривим свое сознание и глянем на наш конденсатор по-другому, чем раньше. Давайте предположим, что у нас за основу взята, например, синяя пластина . Она создает некоторое поле с некоторой напряженностью. Безусловно, и красная пластина тоже создает поле, но в данный момент это не интересно. Давайте смотреть на красную пластину , как на некоторый заряд +q , расположенный в поле синей пластины. И сейчас мы попробуем применить все вышеописанное к красной пластине как будто это и не пластина вовсе, а просто некоторый заряд +q . Вот так вот хитро. Почему, собственно, нет? Возможно, вы скажите - как же так, раньше мы везде исходили из того, что заряды у нас точечные, а тут - целая большая пластина. Она как-то на точку не совсем тянет. Спокойствие, господа. Никто нам не мешает разбить красную пластину на огромную кучу маленьких частичек, каждую из которых можно считать точечным зарядом Δq. Тогда уже можно без проблем применять все вышеописанное . И если мы выполним все расчеты сил, напряженностей, энергий и прочего для вот таких вот отдельных Δq и потом сложим результаты между собой, то получится, что мы зря так переусердствовали - результат будет ровно таким же, как если бы мы просто при расчетах брали заряд +q. Кто хочет - может проверить, я только за . Однако мы будем сразу работать по упрощенной схеме. Хотелось бы только отметить, что это верно для случая, когда поле у нас однородно и заряды по всем пластинам распределены равномерно. В действительности это не всегда так, однако такое упрощение позволяет существенно облегчить все расчеты и избежать всяких градиентов и интегралов без существенного вреда для практики.

Итак, вернемся к рисунку 1. На нем показано, что между обкладками конденсатора существует поле с некоторой напряженностью Е. Но мы договорились сейчас разделить роли обкладок - синяя у нас источник поля, а красная - заряд в поле. Какое же поле создает одна синяя обкладка отдельно от красной? Какова его напряженность? Очевидно, что она в два раза меньше общей напряженности . Почема это так? Да потому, что если забыть про нашу абстракцию (типа красная пластина - и не пластина вовсе, а просто заряд), то в результирующую напряженность Е вносят одинаковый вклад обе обкладки - и красная, и синяя: каждая по Е/2. В результате суммы этих Е/2 как раз и получается та самая Е, которая у нас на картинке. Таким образом (отбрасывая вектора), можно записать

Теперь посчитаем, если можно так выразиться, потенциальную энергию красной обкладки в поле синей обкладки. Заряд мы знаем, напряженность мы знаем, расстояние между обкладками тоже знаем. Поэтому смело записываем

Идем дальше. На деле же никто не мешает поменять местами красную и синюю обкладки. Давайте рассуждать наоборот. Будем рассматривать теперь красную обкладку как источник поля , а синюю - как некоторый заряд -q в этом поле. Думаю, даже без проведения расчета будет очевидно, что результат будет точно такой же. То есть энергия красной пластины в поле синей пластины равна энергии синей пластины в поле красной пластины. И, как вы возможно уже догадались, это и есть энергия конденсатора. Да, вот по этой самой формуле можно произвести расчет энергии заряженного конденсатора:

Слышу, как мне уже кричат: стоп, стоп, опять ты втираешь мне какую-то дичь! Ну ладно, расстояние между пластинами я еще как-то смогу измерить. Но меня почему-то опять заставляют считать заряд, что не понятно как сделать, да еще и напряженность надо знать, а чем я ее померяю?! Мультиметр вроде как не умеет это делать! Все верно, господа, сейчас мы займемся преобразованиями, которые позволят вам измерить энергию конденсатора всего лишь с применением обыкновенного мультиметра.

Давайте сперва избавимся от напряженности. Для этого вспомним замечательную формулу, которая связывает напряженность с напряжение:

Да, напряжение между двумя точками в поле равно произведению напряженности этого поля на расстояние между этими двумя точками. Итак, подставляя это полезнейшее выражение в формулу для энергии, получаем

Уже легче, напряженность ушла. Но остался еще заряд, который не понятно как мерить. Что бы от него избавиться, давайте вспомним формулу емкости конденсатора из предыдущей статьи :

Да, для тех, кто забыл, напоминаю, что емкость определяется как отношение этого злополучного заряда, накопленного конденсатором, к напряжению на конденсаторе. Давайте из этой формулы выразим заряд q и подставим его в формулу энергии конденсатора. Получаем

Вот это уже дельная формула, для энергии заряженного конденсатора! Если нам нужно узнать, какая энергия запасена в конденсаторе с емкостью С, заряженного до напряжения U, мы вполне можем это сделать по вот этой вот формуле. Емкость С обычно пишется на самом конденсаторе или на его упаковке, а напряжение всегда можно измерить мультиметром. Из формулы видно, что энергии в конденсаторе тем больше, чем больше емкость самого конденсатора и напряжение на нем. Причем энергия растет прямо пропорционально квадрату напряжения. Это важно помнить. Увеличение напряжения гораздо быстрее приведет к росту энергии, запасенной в конденсаторе, чем увеличение его емкости.

Для особых любителей зарядов можно из формулы определения емкости выразить не заряд, а напряжение и подставить его в формулу для энергии конденсатора. Таким образом, получаем еще одну формулу энергии

Используется эта формула довольно редко, а на практике вообще не припомню, что б по ней что-то считал, но раз она есть, то путь тут тоже будет для полноты картины. Самая ходовая формула - это средняя.

Давайте для интереса произведем некоторые расчеты. Пусть у нас есть вот такой вот конденсатор

Рисунок 2 - Конденсатор

И давайте мы его зарядим до напряжения, скажем, 8000 В. Какая энергия будет запасена в таком конденсаторе? Как мы видим из фотографии, емкость данного конденсатора составляет 130 мкФ. Теперь легко выполнить расчет энергии:

Много это или мало? Безусловно, не мало! Даже очень не мало! Скажем так, разрешенная энергия электрошокеров составляет какие-то там смешные единицы джоулей, а тут их тысячи! Принимая во внимание высокое напряжение (8кВ) можно смело утверждать, что для человека контакт с таким заряженным конденсатором скорее всего закончится очень и очень печально. Следует соблюдать особую осторожность при больших напряжениях и энергиях! У нас был случай, когда произошло короткое замыкание нескольких таких вот конденсаторов, соединенных параллельно и заряженных до нескольких киловольт. Господа, это было зрелище не для слабонервных! Бабахнуло так, что у меня потом в ушах пол дня звенело! А на стенах лаборатории осела медь от расплавленных проводов! Спешу успокоить, никто не пострадал, но это стало хорошим поводом дополнительно подумать над способами отвода такой гигантской энергии в случае нештатных ситуаций.

Кроме того, господа, важно всегда помнить, что конденсаторы блоков питания приборов тоже не могут мгновенно разрядиться после отключения прибора от сети, хотя там, безусловно, должно быть какие-то цепи, предназначенные для их разряда. Но должны быть, это не значит, что они там точно есть . Поэтому в любом случае после отключения любого прибора от сети, прежде чем лезть к нему внутрь, лучше подождать пару минут для разряда всех кондеров. И потом, после снятия крышки, прежде чем лапками хвататься за все подряд, следует сначала померить напряжение на силовых накопительных конденсаторах и при необходимости выполнить их принудительный разряд каким-нибудь резистором. Можно, конечно, просто отверткой замкнуть их выводы, если емкости не слишком большие, но такое делать крайне не рекомендуется!

Итак, господа, сегодня мы познакомились с различными методами расчета энергии, запасенной в конденсаторе, а также обсудили, как эти расчеты можно выполнять на практике. На этом потихоньку закругляемся. Всем вам удачи, и до новых встреч!

Вступайте в нашу

К моменту написания этого раздела в сети были довольно мало доходчивого описания ионисторов. И авторы этих материалов часто использовали термин "Двойной электрический слой". Не хочу ругать любителей строгой терминологии, но на процесс понимания принципов работы ионистора эти три слова оказывают отрицательное влияние. Итак, дальше текст с понятными словами.

Ионистор - это суперконденсатор

Назначение ионистора - накапливать электрический заряд. И накапливает он его так же, как и обычный электрический конденсатор. Из школьного курса физики: обычный конденсатор - это две пластины разделенный изолятором. Когда на одной из платин появляется избыток электронов, а на другой - недостаток, электроны (-) с первой пластины устремляются поближе ко второй - положительно-заряженной (+). И если отключить батарейку от конденсатора, то напряжение на нем останется, потому что на разных платинах разная плотность электронов.

Можно использовать обычный конденсатор для накопления энергии, но его емкость обычно очень мала.

Расчет энергии конденсатора

W = (C * U 2)/2

W = (0.000001 * 1 2) / 2 = 0,0000005 Джоулей.

Это не энергия, а слезы. Для того, чтобы сдвинуть автомобиль с места - маловато будет. Из формулы видно, что чтобы увеличить энергию нужно увеличивать или емкость, или напряжение. Но напряжение увеличить сложно. Работать с напряжение в миллиард вольт неприятно. Поэтому остается один путь - увеличивать емкость. Чтобы увеличить емкость конденсатора нужно или увеличивать площать пластин или уменьшать расстояние между ними. Ионитор, как раз, может похваститься и невероятно маленьким расстоянием и огромной площадью. А делается это так.

Как работает ионистор

Чтобы увеличить площадь в ионисторах отказываются от пластин. Они есть, но емкость от их площади больше не зависит. В ионисторе роль платин выполняет порошок из углерода. Углерод, хоть и не яляется металлом, но у него много свободных электронов и, соответственно, он хорошо проводит электрический ток. Его можно раскрашить и массу из этого порошка приложить к электроду. Общая площадь электрода увеличится в миллионы раз. Так же поступают и со вторым электродом. Но пока у нас эти электроды разделены воздухом. Теперь окунаем эти электроны, в электролит.

Пусть электролитом будет обычная соленая вода (NaCl и H 2 O). Из физики известно, что в электролитах ток течет благодаря ионам - заряженным частицам вещества. В нашем случае это будут ионы натрия (Na+) и ионы хлора (Cl-).

Заряжаем ионистор

Если подать напряжение на электроды, то ионы натрия побегут к отрицательному электроду, а ионы хлора к положительному. Это и будет процесс заряда ионистора.

В конце концов, на положительно заряженной массе из углерода будет максимальное количество отрицательных ионов хлора, а на отрицательной - положительных ионов натрия. Ионы прилипнут к частицам углерода со всех сторон и останутся там, даже если убрать внешний источник напряжения.

Вот таким образом и работает ионистор. Вот только важное уточнение. Углеродные массы электродов не должны соприкосаться, чтобы электроны с одного не перебежали на другой. Поэтому обычно между электродами из пористого угля помежают изолятор. Его еще называют сепаратором или разделителем. У него две роли:

не давать ионам самопроизвольно перемежаться между электродами

исключать прикосновения электровов из углерода и тока из электронов

Разряжаем ионистор

Если подключить нагрузку к заряженному ионистору, то у электронов из углеродных электродов появиться стимул перебежать на другой электрод, проделав так нужную нам работу. Заряд на электродах по мере разрядки уменьшается и углерод больше не может их удерживать. И электролит снова становится однородным.

Расчет энергии ионистора

Емкость современных миниатюрных ионисторов достигает единиц Фарад. Для обычных конденсаторов - это единица МИКРОфарад. Т.е. если воспользовать формулой, то получится что ионистор на 100 фарад при напряжении в 1 вольт может сохранять энергию в 50 Джоулей. А это уже неплохо.