Как вычислить обратную матрицу. Найти обратную матрицу онлайн. С помощью калькулятора

Матричная алгебра - Обратная матрица

Обратная матрица

Обратной матрицей называется матрица, которая при умножении как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу.
Обозначим обратную матрицу к матрице А через , тогда согласно определению получим:

где Е – единичная матрица.
Квадратная матрица называется неособенной (невырожденной ), если ее определитель не равен нулю. В противном случае она называется особенной (вырожденной ) или сингулярной .

Имеет место теорема: всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.

Операция нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Рассмотрим алгоритм обращения матрицы. Пусть дана неособенная матрица n -го порядка:

где Δ = det A ≠ 0.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n -го порядка А называется взятый с определенным знаком определитель матрицы (n –1)-го порядка, полученной вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца матрицы А :

Составим так называемую присоединенную матрицу:

где– алгебраические дополнения соответствующих элементовматрицы А .
Заметим, что алгебраические дополнения элементов строк матрицы А размещаются в соответствующих столбцах матрицы Ã , то есть одновременно производится транспонирование матрицы.
Разделив все элементы матрицы Ã на Δ – величину определителя матрицы А , получим в результате обратную матрицу:

Отметим ряд особых свойств обратной матрицы:
1) для данной матрицы А ее обратная матрица является единственной;
2) если существует обратная матрица , то правая обратная и левая обратная матрицы совпадают с ней;
3) особенная (вырожденная) квадратная матрица не имеет обратной матрицы.

Основные свойства обратной матрицы:
1) определитель обратной матрицы и определитель исходной матрицы являются обратными величинами;
2) обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведениюобратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:

3) транспонированная обратная матрица равна обратной матрице от данной транспонированной матрицы:

П р и м е р. Вычислить матрицу, обратную данной.

Обратная матрица — это матрица A −1 , при умножении на которую заданная начальная матрица A даёт в итоге единичную матрицу E :

АA −1 = A −1 A = E.

Метод обратной матрицы.

Метод обратной матрицы - это один из самых распространенных методов решения матриц и применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в случаях, когда число неизвестных соответствует количеству уравнений.

Пусть есть система n линейных уравнений с n неизвестными:

Такую систему можно записать как матричное уравнение A* X = B ,

где
- матрица системы,

- столбец неизвестных,

- столбец свободных коэффициентов.

Из выведенного матричного уравнения выражаем X путем умножения обеих частей матричного уравнения слева на A -1 , в результате чего имеем:

A -1 * A * X = A -1 * B

Зная, что A -1 * A = E , тогда E * X = A -1 * B либо X = A -1 * B .

Следующим шагом определяется обратная матрица A -1 и умножается на столбец свободных членов B .

Обратная матрица к матрице A существует лишь тогда, когда det A ≠ 0 . Ввиду этого при решении СЛАУ методом обратной матрицы первым делом находится det A . Если det A ≠ 0 , то у системы есть только одно решение, которое можно получить методом обратной матрицы, если же det A = 0 , то такая система методом обратной матрицы не решается.

Решение обратной матрицы.

Последовательность действий для решения обратной матрицы :

1. Получаем определитель матрицы A . Если определитель больше нуля, решаем обратную матрицы дальше, если он равен нулю, то здесь обратную матрицу найти не удастся.
2. Находим транспонированную матрицу AT .
3. Ищем алгебраические дополнения, после чего заменяем все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями.
4. Собираем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы полученной матрицы делим на определитель исходно заданной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно исходной.

Приведенный ниже алгоритм решения обратной матрицы по сути такой же, как и приведенный выше, разница только в нескольких шагах: первым делом определяем алгебраические дополнения, а уже после этого вычисляем союзную матрицу C .

1. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
2. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
3. Вычисляем алгебраические дополнения.
4. Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C .
5. Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
6. Проверяем выполненную работу: умножаем начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

Это лучше всего делать с помощью присоединённой матрицы.

Теорема: Если к квадратной матрице с правой стороны приписать единичную матрицу такого же порядка и при помощи элементарных преобразований над строками преобразовать начальную матрицу, стоящую слева, в единичную, то полученная с правой стороны будет обратной к начальной.

Пример нахождения обратной матрицы.

Задание. Для матрицы найти обратную методом присоединенной матрицы .

Решение. Дописываем к заданной матрице А справа единичную матрицу 2го порядка:

Из 1й строки вычитаем 2ю:

От второй строки отнимаем 2 первых:

Матрица $A^{-1}$ называется обратной по отношению к квадратной матрице $A$, если выполнено условие $A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E$, где $E$ – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы $A$.

Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.

Обратная матрица $A^{-1}$ существует тогда и только тогда, когда матрица $A$ – невырожденная. Если обратная матрица $A^{-1}$ существует, то она единственная.

Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен во второй части .

Метод присоединённой (союзной) матрицы

Пусть задана матрица $A_{n\times n}$. Для того, чтобы найти обратную матрицу $A^{-1}$, требуется осуществить три шага:

1. Найти определитель матрицы $A$ и убедиться, что $\Delta A\neq 0$, т.е. что матрица А – невырожденная.
2. Составить алгебраические дополнения $A_{ij}$ каждого элемента матрицы $A$ и записать матрицу $A_{n\times n}^{*}=\left(A_{ij} \right)$ из найденных алгебраических дополнений.
3. Записать обратную матрицу с учетом формулы $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$.

Матрицу ${A^{*}}^T$ часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице $A$.

Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (), третьего (), четвертого (). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во второй части .

Пример №1

Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & -1 & -9 & 0 \end{array} \right)$.

Так как все элементы четвёртого столбца равны нулю, то $\Delta A=0$ (т.е. матрица $A$ является вырожденной). Так как $\Delta A=0$, то обратной матрицы к матрице $A$ не существует.

Ответ : матрицы $A^{-1}$ не существует.

Пример №2

Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\right)$. Выполнить проверку.

Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем определитель заданной матрицы $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {cc} -5 & 7\\ 9 & 8 \end{array}\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Так как $\Delta A \neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения

\begin{aligned} & A_{11}=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_{12}=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_{21}=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_{22}=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end{aligned}

Составляем матрицу из алгебраических дополнений: $A^{*}=\left(\begin{array} {cc} 8 & -9\\ -7 & -5 \end{array}\right)$.

Транспонируем полученную матрицу: ${A^{*}}^T=\left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)$ (полученная матрица часто именуется присоединённой или союзной матрицей к матрице $A$). Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$, имеем:

$$ A^{-1}=\frac{1}{-103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right) =\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right) $$

Итак, обратная матрица найдена: $A^{-1}=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A^{-1}\cdot A=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$, а в виде $-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)$:

$$ A^{-1}\cdot{A} =-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array} {cc} -5 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\right) =-\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array} {cc} -103 & 0 \\ 0 & -103 \end{array}\right) =\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) =E $$

Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$.

Пример №3

Найти обратную матрицу для матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right)$. Выполнить проверку.

Начнём с вычисления определителя матрицы $A$. Итак, определитель матрицы $A$ таков:

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right| = 18-36+56-12=26. $$

Так как $\Delta A\neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:

$$ \begin{aligned} & A_{11}=(-1)^{2}\cdot\left|\begin{array}{cc} 9 & 4\\ 3 & 2\end{array}\right|=6;\; A_{12}=(-1)^{3}\cdot\left|\begin{array}{cc} -4 &4 \\ 0 & 2\end{array}\right|=8;\; A_{13}=(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc} -4 & 9\\ 0 & 3\end{array}\right|=-12;\\ & A_{21}=(-1)^{3}\cdot\left|\begin{array}{cc} 7 & 3\\ 3 & 2\end{array}\right|=-5;\; A_{22}=(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 0 & 2\end{array}\right|=2;\; A_{23}=(-1)^{5}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 7\\ 0 & 3\end{array}\right|=-3;\\ & A_{31}=(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc} 7 & 3\\ 9 & 4\end{array}\right|=1;\; A_{32}=(-1)^{5}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 3\\ -4 & 4\end{array}\right|=-16;\; A_{33}=(-1)^{6}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 7\\ -4 & 9\end{array}\right|=37. \end{aligned} $$

Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:

$$ A^*=\left(\begin{array} {ccc} 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end{array} \right); \; {A^*}^T=\left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right). $$

Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$, получим:

$$ A^{-1}=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right) $$

Итак, $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A\cdot A^{-1}=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$, а в виде $\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)$:

$$ A\cdot{A^{-1}} =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end{array} \right)\cdot \frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right) =\frac{1}{26}\cdot\left(\begin{array} {ccc} 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right) =E $$

Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^{-1}$ найдена верно.

Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$.

Пример №4

Найти матрицу, обратную матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end{array} \right)$.

Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.

Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы $A$. Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью разложения определителя по строке (столбцу) . Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.

Например, для первой строки получим:

$$ A_{11}=\left|\begin{array}{ccc} 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end{array}\right|=556;\; A_{12}=-\left|\begin{array}{ccc} 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end{array}\right|=-300; $$ $$ A_{13}=\left|\begin{array}{ccc} 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end{array}\right|=-536;\; A_{14}=-\left|\begin{array}{ccc} 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end{array}\right|=-112. $$

Определитель матрицы $A$ вычислим по следующей формуле:

$$ \Delta{A}=a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}+a_{14}\cdot A_{14}=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin{aligned} & A_{21}=-77;\;A_{22}=50;\;A_{23}=87;\;A_{24}=4;\\ & A_{31}=-93;\;A_{32}=50;\;A_{33}=83;\;A_{34}=36;\\ & A_{41}=473;\;A_{42}=-250;\;A_{43}=-463;\;A_{44}=-96. \end{aligned} $$

Матрица из алгебраических дополнений: $A^*=\left(\begin{array}{cccc} 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end{array}\right)$.

Присоединённая матрица: ${A^*}^T=\left(\begin{array} {cccc} 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end{array}\right)$.

Обратная матрица:

$$ A^{-1}=\frac{1}{100}\cdot \left(\begin{array} {cccc} 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cccc} 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end{array} \right) $$

Проверка, при желании, может быть произведена так же, как и в предыдущих примерах.

Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {cccc} 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end{array} \right)$.

Во второй части будет рассмотрен иной способ нахождения обратной матрицы, который предполагает использование преобразований метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ И МИНОРЫ

Пусть имеем определитель третьего порядка: .

Минором , соответствующим данному элементу a ij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i -ой строки и j -го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a ij будем обозначать M ij .

Например , минором M 12 , соответствующим элементу a 12 , будет определитель , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.

Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка, показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a 12 , берётся со знаком “–”, т.е. можно записать, что

.

(1)

Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго порядка и высших порядков.

Введём ещё одно понятие.

Алгебраическим дополнением элемента a ij определителя называется его минор M ij , умноженный на (–1) i+j .

Алгебраическое дополнение элемента a ij обозначается A ij .

Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством A ij = (–1) i+j M ij .

Например,

Пример. Дан определитель . Найти A 13 , A 21 , A 32 .

Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу (1) можно записать в виде:

Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.

Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить следующим образом. Согласно свойству 2 определителя имеем:

Разложим полученный определитель по элементам 1-ой строки.

.

(2)

Отсюда т.к. определители второго порядка в формуле (2) есть миноры элементов a 21 , a 22 , a 23 . Таким образом, , т.е. мы получили разложение определителя по элементам 2-ой строки.

Аналогично можно получить разложение определителя по элементам третьей строки. Используя свойство 1 определителей (о транспонировании), можно показать, что аналогичные разложения справедливы и при разложении по элементам столбцов.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу). Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Всё вышесказанное справедливо и для определителей любого более высокого порядка.

Примеры.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц .

Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A -1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)